Sentralmål og Spredning med Python

Python med standardbiblioteket `statistics` gir enkle og effektive metoder for å beregne sentralmål (gjennomsnitt, median, typetall) og spredningsmål (standardavvik, variasjonsbredde) fra datasett.

Importere statistics-modulen

I Python kan du bruke standardbiblioteket `statistics` for å beregne de vanligste statistiske målene. Du trenger ikke installere noe ekstra for å bruke dette biblioteket, det følger med Python.

# Importere statistikk-modulen
from statistics import mean, median, mode, pstdev, stdev, variance, quantiles

# Opprette et datasett (høyder i cm)
høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Nå er vi klare til å bruke de statistiske funksjonene på datasettet

Sentralmål: Gjennomsnitt, Median og Typetall

Sentralmål er statistiske verdier som beskriver et typisk eller sentralt punkt i et datasett.

Gjennomsnitt (mean)

Gjennomsnittet er summen av alle verdier delt på antall verdier. Det er det mest brukte sentralmålet.

from statistics import mean

høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Beregne gjennomsnitt
gjennomsnitt = mean(høyder)
print(f"Gjennomsnitt: {gjennomsnitt}")  # Output: 174.21...

# Du kan også beregne gjennomsnitt manuelt
manuelt_gjennomsnitt = sum(høyder) / len(høyder)
print(f"Manuelt beregnet gjennomsnitt: {manuelt_gjennomsnitt}")  # Samme resultat

Median

Median er midtverdien i et sortert datasett. Det er verdien som deler datasettet i to like store deler.

from statistics import median

høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Beregne median
median_høyde = median(høyder)
print(f"Median: {median_høyde}")  # Output: 174.5

# Du kan også beregne median manuelt
sortert = sorted(høyder)
n = len(sortert)
if n % 2 == 0:  # Hvis antall elementer er et partall
    midt1 = sortert[n//2 - 1]
    midt2 = sortert[n//2]
    manuell_median = (midt1 + midt2) / 2
else:  # Hvis antall elementer er et oddetall
    manuell_median = sortert[n//2]
print(f"Manuelt beregnet median: {manuell_median}")  # Samme resultat

Typetall (Mode)

Typetall er den verdien som forekommer oftest i datasettet.

from statistics import mode

høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Beregne typetall
typetall = mode(høyder)
print(f"Typetall: {typetall}")  # Output: 175

# Du kan også beregne typetall manuelt
frekvenser = {}
for høyde in høyder:
    if høyde in frekvenser:
        frekvenser[høyde] += 1
    else:
        frekvenser[høyde] = 1

# Finn verdien med høyest frekvens
manuell_mode = max(frekvenser, key=frekvenser.get)
print(f"Manuelt beregnet typetall: {manuell_mode}")  # Samme resultat: 175

Sammenligning av sentralmål

La oss se på et eksempel der vi sammenligner de tre sentralmålene på samme datasett:

from statistics import mean, median, mode

# Datasett 1: Symmetrisk fordeling
symmetrisk = [5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10]
print(f"Symmetrisk datasett: {symmetrisk}")
print(f"Gjennomsnitt: {mean(symmetrisk)}")  # 7.7
print(f"Median: {median(symmetrisk)}")      # 8.0
print(f"Typetall: {mode(symmetrisk)}")      # 8

# Datasett 2: Høyreskjev fordeling
høyreskjev = [5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 15, 20]
print(f"
Høyreskjev datasett: {høyreskjev}")
print(f"Gjennomsnitt: {mean(høyreskjev)}")  # 10.2 (påvirket av ekstremverdier)
print(f"Median: {median(høyreskjev)}")      # 9.5 (mindre påvirket)
print(f"Typetall: {mode(høyreskjev)}")      # 10

# Datasett 3: Venstreskjev fordeling
venstreskjev = [1, 5, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14]
print(f"
Venstreskjev datasett: {venstreskjev}")
print(f"Gjennomsnitt: {mean(venstreskjev)}")  # 9.8
print(f"Median: {median(venstreskjev)}")      # 10.5
print(f"Typetall: {mode(venstreskjev)}")      # 10 eller 14 (multimodal)

Spredningsmål: Standardavvik og variasjon

Spredningsmål forteller oss hvor mye verdiene i et datasett varierer eller er spredt ut fra sentralmålet.

Standardavvik

Standardavvik er et mål på hvor mye verdiene avviker fra gjennomsnittet. Et lavt standardavvik indikerer at verdiene er nær gjennomsnittet, mens et høyt standardavvik indikerer stor spredning.

from statistics import mean, pstdev, stdev

høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Beregne populasjonsstandardavvik (når dataene representerer hele populasjonen)
pop_std = pstdev(høyder)
print(f"Populasjonsstandardavvik: {pop_std:.2f}")  # ca. 6.73

# Beregne utvalgs-standardavvik (når dataene er et utvalg fra en større populasjon)
sample_std = stdev(høyder)
print(f"Utvalgs-standardavvik: {sample_std:.2f}")  # ca. 6.97

# Forskjellen er at stdev() deler summen av kvadrerte avvik på (n-1) i stedet for n

Variasjonsbredde (Range)

Variasjonsbredden er differansen mellom den største og den minste verdien i datasettet.

høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Beregne variasjonsbredde
variasjonsbredde = max(høyder) - min(høyder)
print(f"Variasjonsbredde: {variasjonsbredde}")  # 190 - 165 = 25

Kvartiler og kvartilbredde

Kvartiler deler et sortert datasett i fire like deler. Kvartilbredden (IQR) er differansen mellom tredje og første kvartil.

from statistics import quantiles

høyder = [168, 172, 175, 169, 182, 175, 178, 165, 170, 175, 190, 172, 168, 180]

# Beregne kvartiler
kvartiler = quantiles(høyder)
print(f"Kvartiler: {kvartiler}")  # [169.0, 174.5, 179.0]

# Første kvartil (Q1), andre kvartil (median), tredje kvartil (Q3)
Q1 = kvartiler[0]
Q2 = kvartiler[1]  # Dette er medianen
Q3 = kvartiler[2]

# Beregne kvartilbredde (IQR)
IQR = Q3 - Q1
print(f"Kvartilbredde (IQR): {IQR}")  # 179.0 - 169.0 = 10.0

# Identifisere potensielle uteliggere (verdier som ligger langt fra resten)
nedre_grense = Q1 - 1.5 * IQR
øvre_grense = Q3 + 1.5 * IQR
print(f"Nedre grense for uteliggere: {nedre_grense}")
print(f"Øvre grense for uteliggere: {øvre_grense}")

# Finn uteliggere
uteliggere = [x for x in høyder if x < nedre_grense or x > øvre_grense]
print(f"Uteliggere: {uteliggere}")

Praktisk eksempel: Sammenligning av to klasser

La oss se på et praktisk eksempel der vi sammenligner testresultatene fra to forskjellige klasser:

from statistics import mean, median, mode, stdev

# Testresultater (poeng av 100 mulige)
klasse_a = [65, 72, 78, 85, 90, 92, 68, 75, 82, 79, 88, 84, 78, 75]
klasse_b = [55, 62, 95, 85, 90, 52, 98, 75, 92, 69, 88, 54, 88, 75]

# Sammenligne sentralmål
print("SAMMENLIGNING AV TESTRESULTATER:")
print(f"Gjennomsnitt klasse A: {mean(klasse_a):.2f}")    # ca. 79.36
print(f"Gjennomsnitt klasse B: {mean(klasse_b):.2f}")    # ca. 76.29

print(f"Median klasse A: {median(klasse_a)}")      # 79.5
print(f"Median klasse B: {median(klasse_b)}")      # 77.0

# Sammenligne spredning
print(f"Standardavvik klasse A: {stdev(klasse_a):.2f}")  # ca. 8.12
print(f"Standardavvik klasse B: {stdev(klasse_b):.2f}")  # ca. 16.44

print(f"Variasjonsbredde klasse A: {max(klasse_a) - min(klasse_a)}")  # 27
print(f"Variasjonsbredde klasse B: {max(klasse_b) - min(klasse_b)}")  # 46

# Beregne antall som bestod testen (over 70 poeng)
bestått_a = sum(1 for poeng in klasse_a if poeng >= 70)
bestått_b = sum(1 for poeng in klasse_b if poeng >= 70)

print(f"Antall som bestod i klasse A: {bestått_a} av {len(klasse_a)} ({bestått_a/len(klasse_a)*100:.1f}%)")
print(f"Antall som bestod i klasse B: {bestått_b} av {len(klasse_b)} ({bestått_b/len(klasse_b)*100:.1f}%)")

# Konklusjon
print("
KONKLUSJON:")
print("Klasse A har et litt høyere gjennomsnitt og median enn klasse B.")
print("Klasse B har mye større spredning i resultatene (nesten dobbelt så stort standardavvik).")
print("Dette tyder på at elevene i klasse A er mer jevne i prestasjonene,")
print("mens klasse B har større forskjeller mellom de sterkeste og svakeste elevene.")

Frekvenstabeller og sentralmål

Ofte har vi data i form av en frekvenstabell. La oss se hvordan vi kan beregne sentralmål fra en slik tabell:

from statistics import mean, median, mode

# Høydedata i form av en frekvenstabell
høyde_intervaller = ["155-159", "160-164", "165-169", "170-174", "175-179", "180-184", "185-189", "190-194"]
frekvenser = [2, 5, 8, 12, 9, 7, 4, 3]

# For å beregne statistikk må vi konvertere dette til en liste med individuelle verdier
# Vi bruker midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi
midtpunkter = [157, 162, 167, 172, 177, 182, 187, 192]

# Generer liste med alle høyder basert på frekvenstabellen
alle_høyder = []
for i in range(len(midtpunkter)):
    # Legger til midtpunktet det antall ganger det forekommer
    for j in range(frekvenser[i]):
        alle_høyder.append(midtpunkter[i])

# Nå kan vi beregne statistikk
print(f"Antall personer: {len(alle_høyder)}")
print(f"Gjennomsnitt: {mean(alle_høyder):.2f} cm")
print(f"Median: {median(alle_høyder)} cm")
print(f"Typetall: {mode(alle_høyder)} cm")

# Vi kan også telle antall over/under en viss høyde
antall_over_180 = sum(1 for h in alle_høyder if h >= 180)
print(f"Antall personer over 180 cm: {antall_over_180}")
print(f"Prosentandel over 180 cm: {antall_over_180/len(alle_høyder)*100:.1f}%")